思维专家韩晓君：从高考数学归纳法看什么是数学思维？
从数学归纳法看什么是思维？
高考数学案例分析——数学方法（数学归纳法）的学习和小结
（一）
1.
在数学推理过程中，由于一般到特殊，根据已知准确的判断去做出新的判断，称做演绎推理，反过来，从分析一些特例的共同特征，得出一般性的结论，这种由特殊到一般的推理方法，称作归纳推理。
如果只从一些有限特例的验证，就得到一般性的结论，这种归纳推理，称为不完全归纳法。显然，它所得到的结论不一定可靠的，但常常利用它。提出猜想，然后严格证明。
对于与自然数有关的数学命题，一句数学归纳法原理，可以得到可靠结论的一种归纳推理方法（事实上，是把归纳和演绎结合起来了），称作数学归纳法。它是一种完全归纳法。
2.
（1）
设一个与自然数有关的命题，如果
①当n取第一个值n0（列如n=1，或2等）时命题成立；
②若n=k（k N，且k≥n0）时命题的成立，能导致n=k+1是命题也成立.
那么，这个命题对于一切自然数n（n≥n0）都成立。
（2）
10、证明当n取第一个n0 (列如n=1或2等)时，结论成立；
20、假设n=k（k N且k≥ ）时结论正确，证明n=k+1时，结论也正确.结论，所以命题对于从n0开始的所有自然数n 都成立。
（3）弄清几个问题
①n0宜取尽可能小的自然数字，这样可使命题的成立范围较大，但不一定必须取1。
②必须先证明n= n0是结论正确。不能因为在(2)中的20得到了n=k+1时命题成立的结论，证明就完成了。
因为，得到“n=k+1时命题成立”结论的前提是“n=k时命题成立，”它只是假定，称作归纳设，它必须以“n= n0时命题成立”为基础.
③有时，由“假设n=k时命题成立”，易推出n=k+2时命题成立.这时，只要在（2）中的10中明归纳假设基础存在时，分别证明，n= n1及n= n2时，命题都成立。这里n1，n2一个是奇数一个是偶数。那么，欲证命题则对于一切大于或等于n1、n2较大者的自然数都成立。
如果由“n=k时命题成立”，易于推出n=k+3.或n=k.或n=k+4.或……时命题成立，处理方法类似。
（二）
从假设n=k时命题成立，推出n=k+1时命题成立，是完成数学归纳学的关键一步，也是难点所在，要掌握和用好数学归纳法，需要总结、掌握处理这一步的思考规律。
1、熟悉从“假设n=k时命题成立”推导“n=k时命题成立”的一般方法。下面，通过例题，介绍用数学归纳法证明等式或不等式时，处理这一步的一般办法.
例27、
证法一
所以命题成立.
2o 、若n=k（k N）时，等式成立，即
则
即n=k+1时，等式成立。综合10与20，等式对于一切n N成立。
证法二
则
\（k+1）[（k+1）+1]2=（k+1）[(k+1) 2+ (2k+3)]
=K(k+1) 2 +(k+1)[3(k+1)+1]
=1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1].
即
证法三
若需证n=k+1时等式成立，只需证
1×4+2×7+…+k(3k+1)+（k+1）[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1] ,
②成立，则只需证
成立，即只需证
成立。而③式显然成立。故n=k+1时，等式成立（以下略）。
说明 [1]法一是从欲证的n=k+1时的等式的左端化向它的右端。证法二则相反。从这两个的证法比较来就看，以从复杂端（本题是左端）化向简单端，比较易于思考。
[2] 证法三是通过对欲证等式的逆推分析（通常所称的分析法），把证明等式转化为证明条件等式（在本题例为②式），降低了思考的难度，转化的方式等价②式-①式，对于用数学归纳法证明较复杂的不等式，这种方法尤可降低思维的难度，这将在下一个例子的“证法一”中明显的表现出来.
[3]无论哪种证法，都利用了归纳假设中写出的具体等式，在要求必须应用数学归纳法来完成证明的题目里，如果没有利用归纳假设，不能被认为是正确的解答。
例28
说明 [1]证法一运用了例1中证法所以的方法，降低了思考难度，必须注意的是，③式的得到是在①的基础上，寻找出使②式成立的一个充分（不一定必要）条件，具体做法是，用②式的左端减去①式的左端得到的式子作为新不等式的左端；用①、②的不等号方向（①、②不等号的方向一定要相同），并且，若①、②的不等号是严格大于“>”号或严格小于“<”号，新不等式要相应的取“≥”号或“≤”号。在这里，新不等式③并不是不等式②与①的差。
[2]证法二用的是例27证法一得方法，由于是从“复杂端”化向了“简单端”，过程简捷，但在思考的难度上，则较本例的证法一为高。
正确理解“数学归纳法”，才能用好“数学归纳法”。
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