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思维专家韩晓君：从高考数学归纳法看什么是数学思维？

2010-09-21

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从数学归纳法看什么是思维？

高考数学案例分析——数学方法（数学归纳法）的学习和小结

韩晓君：

前言：

一旦你把思维看清楚了，你会发现老师在课堂上教给你的任何方法，不过是思维的搭建和链接。我们首先走近思维。

     烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？这是摩托罗拉的一道面试题目。其实也是一道典型的考察思维能力的题目，如果你思维能力够好，能找到问题的结点，那你很快就能答出来，否则就会很困难。
    那么这个问题的结点在哪里呢？一个小时自然不用去考虑，关键是这15分钟，如果能确定这15分钟的时间就可以了。我们再想，15分钟和1小时是什么关系呢？四分之一对吧！那我们接下来就要寻找这四分之一了。四分之一是什么，就是是两头同时烧一次就是一倍的概念。于是我们可以先拿出一根绳子，两头同时烧，而另外一根绳子只烧一头。当第一个绳子完全烧尽时，第二根绳子所烧时间就是30分钟。这样重复两次，就可以获得两根30分钟的绳子。然后我将这两根30分钟的绳子，其中一根还是两头同时烧，另外一根只烧一头。当这根30分钟的绳子烧尽时，另外那根烧单头的就剩下15分钟所烧的时间。这样问题就解决了，是不是很简单啊！
    其实这就是所谓的对一个问题的思维过程。那思维到底是什么呢？就是在我审完题之后，通过对题目的理解，及通过我所有的一些知识点，发现到已知和所求之间的差距，而这个差距跟我所学的知识一联系，然后决定用什么东西去执行的全部过程叫做思维。
    举个简单例子，Google在中国的第一把手叫李开复，他给大学生写过四封信，这四封信中的第四封信有过这么一段话：他说他在哥伦比亚大学任助教的时候，曾经接到一个中国学生的母亲的抱怨电话说，你们学校在教什么东西啊，我的孩子已经在你们学校读了两年计算机系了，两年下来竟然连个软件都不会用，你们在教什么呢？当时李开复是这么答的：计算机这个领域日新月异，我们不能保证今天所学的知识，5年之后仍旧会有用，但我能够保证，他在这块学到了思考问题的方法，以后遇到新的问题，仍旧能够游刃有余。
    在这儿插一句啊，请大家思考一下，高考中的题目是你以前做过的还是没做过的，一定是没做过的对吧。所以这个学会做新题的能力才是最重要的能力点。
    我们还是回到李开复那封信中去，等他说完之后，那个学生的母亲又怀疑地说了一句话：教育的本质如果不是教知识的话，那是教什么。当时李开复引用了世界上一个非常有名的教育家的原话是这么答的：什么时候我们把知道都忘掉了，剩下的就是教育该教的。
    我们大家想想，把知识忘掉之后剩下的是什么啊，就是思维，是思维方式啊。但是“忘”是加引号的“忘”，知道不，是忘掉了知识的“形”，而留下了知识的“意”和全部的思维过程，而这就是所谓的思维的概念。
    越来越多地人意识到了思维的重要性，国家在近几年的高考试题中也加大了对思维能力的考察力度，这是一个不错的开始！

以此为例，我们来体会道数学思维的归纳法（一旦你把思维找清楚了，你会发现老师在课堂上教给你的方法，不过是思维的搭建和链接）：

数学归纳法，对于同学们无论在中学阶段还是在大学阶段的数学学习，都是一个经常用到的工具，因此是高中代数的一个重点。由于它所解决的问题五花八门，应用时的情况扑塑迷离，所以，它又是高中数学的一个难点。

（一） 概念的理解

1. 不完全归纳法和完全归纳法

在数学推理过程中，由于一般到特殊，根据已知准确的判断去做出新的判断，称做演绎推理，反过来，从分析一些特例的共同特征，得出一般性的结论，这种由特殊到一般的推理方法，称作归纳推理。

如果只从一些有限特例的验证，就得到一般性的结论，这种归纳推理，称为不完全归纳法。显然，它所得到的结论不一定可靠的，但常常利用它。提出猜想，然后严格证明。

对于与自然数有关的数学命题，一句数学归纳法原理，可以得到可靠结论的一种归纳推理方法（事实上，是把归纳和演绎结合起来了），称作数学归纳法。它是一种完全归纳法。

2. 数学归纳法

（1）数学归纳法原理

设一个与自然数有关的命题，如果

①当n取第一个值n₀（列如n=1，或2等）时命题成立；

②若n=k（k N，且k≥n₀）时命题的成立，能导致n=k+1是命题也成立.

那么，这个命题对于一切自然数n（n≥n₀）都成立。

（2）用数学归纳法证明一个命题的步骤

1⁰、证明当n取第一个n₀ (列如n=1或2等)时，结论成立；

2⁰、假设n=k（k N且k≥ ）时结论正确，证明n=k+1时，结论也正确.结论，所以命题对于从n₀开始的所有自然数n 都成立。

（3）弄清几个问题

①n₀宜取尽可能小的自然数字，这样可使命题的成立范围较大，但不一定必须取1。

②必须先证明n= n₀是结论正确。不能因为在(2)中的2⁰得到了n=k+1时命题成立的结论，证明就完成了。

因为，得到“n=k+1时命题成立”结论的前提是“n=k时命题成立，”它只是假定，称作归纳设，它必须以“n= n₀时命题成立”为基础.

③有时，由“假设n=k时命题成立”，易推出n=k+2时命题成立.这时，只要在（2）中的1⁰中明归纳假设基础存在时，分别证明，n= n₁及n= n₂时，命题都成立。这里n₁，n₂一个是奇数一个是偶数。那么，欲证命题则对于一切大于或等于n₁、n₂较大者的自然数都成立。

如果由“n=k时命题成立”，易于推出n=k+3.或n=k.或n=k+4.或……时命题成立，处理方法类似。

（二） 用好数学归纳法

从假设n=k时命题成立，推出n=k+1时命题成立，是完成数学归纳学的关键一步，也是难点所在，要掌握和用好数学归纳法，需要总结、掌握处理这一步的思考规律。

1、熟悉从“假设n=k时命题成立”推导“n=k时命题成立”的一般方法。下面，通过例题，介绍用数学归纳法证明等式或不等式时，处理这一步的一般办法.

例27、求 1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n(n+1) （n N）.

证法一 1⁰、当n=1时，因为

左=1×（3×1+1）=4，

右=1×（1+1） =4，

左=右.

所以命题成立.

2^o 、若n=k（k N）时，等式成立，即

1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）²①

则

1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）+（k+1）[3(k+1)+1]

=k(k+1)²+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]²。

即n=k+1时，等式成立。综合1⁰与2⁰，等式对于一切n N成立。

证法二 (从证法一的①式开始)

则

\（k+1）[（k+1）+1]2=（k+1）[(k+1) ²+ (2k+3)]

=k(k+1) +(k+1) +(k+1)(2k+3)

=k(k+1)² +(k+1)[（k+1）+2k+2+1]

=K(k+1) ² +(k+1)[3(k+1)+1]

=1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1].

即 n=k+1时，等式成立（以下略）

证法三（从证法一的①式开始）

若需证n=k+1时等式成立，只需证

1×4+2×7+…+k(3k+1)+（k+1）[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1] , ②

②成立，则只需证

（k+1）[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1] -k(k+1)

成立，即只需证

3k+3+1=k²+4k+4-k²-k ③

成立。而③式显然成立。故n=k+1时，等式成立（以下略）。

说明 [1]法一是从欲证的n=k+1时的等式的左端化向它的右端。证法二则相反。从这两个的证法比较来就看，以从复杂端（本题是左端）化向简单端，比较易于思考。

[2] 证法三是通过对欲证等式的逆推分析（通常所称的分析法），把证明等式转化为证明条件等式（在本题例为②式），降低了思考的难度，转化的方式等价②式-①式，对于用数学归纳法证明较复杂的不等式，这种方法尤可降低思维的难度，这将在下一个例子的“证法一”中明显的表现出来.

[3]无论哪种证法，都利用了归纳假设中写出的具体等式，在要求必须应用数学归纳法来完成证明的题目里，如果没有利用归纳假设，不能被认为是正确的解答。

例28 用数学归纳法证明：

说明 [1]证法一运用了例1中证法所以的方法，降低了思考难度，必须注意的是，③式的得到是在①的基础上，寻找出使②式成立的一个充分（不一定必要）条件，具体做法是，用②式的左端减去①式的左端得到的式子作为新不等式的左端；用①、②的不等号方向（①、②不等号的方向一定要相同），并且，若①、②的不等号是严格大于“>”号或严格小于“<”号，新不等式要相应的取“≥”号或“≤”号。在这里，新不等式③并不是不等式②与①的差。

[2]证法二用的是例27证法一得方法，由于是从“复杂端”化向了“简单端”，过程简捷，但在思考的难度上，则较本例的证法一为高。

证法二这种证明不等式的方法称做“放大法”；拥有证明“>”或“≥”方向的不等式时，则称为“缩小法”。应用这种方法证明不等式时，关键是“放大”（或“被缩小量”）和“目标量”之间。

正确理解“数学归纳法”，才能用好“数学归纳法”。

大家理解什么是数学思维了吧？看清思维，再把思维还原进入老师课堂上的教学，我们这样反复几次，就会找到学习的源头。在《黄帝内经》里有一个分支，叫做《素问》，就是古人所讲的知识的本原。我在这里希望广大同学能够追溯到知识的前面，看到最本质的东西。在这里我把手机给大家留下13910225525，希望广大同学经常与我沟通交流。

另外，我在北京的公益讲座开始了，都在每个周末或者假期，有时间、有兴趣的同学可以来听听。具体的时间是9月12日，9月22日，10月1日等。地点在西城区考试中心和海淀区苏州街长远天地大厦。大家可以打电话来咨询010-51658076。

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