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数学辅导：求函数解析式的几种常用方法

2010-09-21

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当前，我们已进入高三一轮复习，函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础，是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学数学的始终。求函数解析式是函数部分的基础，在高考试题中多以选择、填空形式出现，属中低档题目，同学们务必要拿分。下面就向同学们介绍几种求函数解析式的常用方法：

　　[题型一]配凑法

　　例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。

　　分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。

　　解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1

　　(■+11)

　　∴f(x)=x2-1(x1)

　　小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。

　　[题型二]换元法

　　例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。

　　分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。

　　解：设t=1-cosx

　　∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2

　　∴cosx=1-t

　　∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t

　　∴f(t)=-t2+2t(0t2)

　　即f(x)=-x2+2x(0x2)

　　小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。

　　注意：换元后要确定新元t的取值范围。

　　②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。

　　[题型三]待定系数法

　　例3.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。

　　分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。

　　解：设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)

　　由f(x+2)=f(2-x)可知，该函数图象关于直线x=2对称

　　∴-■=2，即b=-4a……①

　　又图象过点(0，3) ∴c=3……②

　　由方程f(x)=0的两实根平方和为10，得(-■)2-■=0

　　即b2-2ac=10a2……③

　　由①②③解得a=1，b=-4，c=3

　　∴f(x)=x2-4x+3

　　小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=■(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设

　　①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

　　②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)

　　③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

　　[题型四]消元法

　　例4.已知函数y=f(x)满足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常数，a≠±b，求函数y=f(x)的解析式。

　　分析：求函数y=f(x)的解析式，由已知条件知必须消去f(■)，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f(■)得f(x)。如何构成呢？充分利用x和■的倒数关系，用■去替换已知中的x便可得到另一个方程。

　　解：在已知等式中，将x换成■，得af(■)+bf(x)=■，把它与原条件式联立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②

　　①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)

　　∵a≠±b ∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)

　　(周六继续刊登)

　　有同学通过QQ询问下面的数学题，我们请天津四中的孟黎辉老师来回答。

　　问1.已知：方程：x2+ax+a+1=0的两根满足一个条件：一根大于k，一根小于k(k是实数)，求a的取值范围。(此题一种方法是图象法，还有一种方法，能告诉这两种方法吗？)

　　答：方法一：∵f(x)=x2+ax+a+1图象为开口向上的抛物线，因此只需f(k)＜0即可。

　　∴k2+ak+a+1＜0，即a(k+1)＜-k2-1

　　∴当k＞-1时，a＜■；当k＜-1时，a＞■；当k=-1时，a无解。

　　方法二：(x1-k)(x2-k)＜0△＞0

　　只需(x1-k)(x2-k)＜0即可，x1x2-k(x1+x2)+k2＜0

　　即a+1+ka+k2＜0，以下同方法一。

　　问2.为什么求解时只需求(x1-k)(x2-k)＜0，而不需再求根的判别式是否大于0？

　　答：法二不需要验判别式，原因可以举个简单例子说明，如：若研究x2+ax+b=0两根满足：一个根大于0，一个根小于0，只需x1x2＜0，即：b<0，此时就可以保证△=a2-4b＞0恒成立。

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