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稳中创新平中见奇－高考数学应试技巧

2010-11-02

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研读２００４年高考的各套数学试卷，耳目为之一新．试题以它的知识性、灵活性和创新性，描绘出了一个五彩缤纷、绚丽多姿的数学世界，充分展示了数学的美感．试题“总体稳定，改革创新”，以考查能力和素质为主，遵循大纲，又不拘泥大纲，重点突出，锐意进取，平稳过渡，稳中创新．从数学知识、思想方法、学科能力出发，着重考查高中数学中最重要的函数、数列、不等式，解析几何中的直线与圆锥曲线的关系，立体几何中点、线、面的关系等，多层次、多角度、多视点地考查了考生的数学素养和学习的潜能．

综观２００４年高考的数学试卷，给人的第一印象是“平和”，许多试卷看上去似乎都很平稳，试题也没有出现明显的偏题、怪题，但实际上“平中见奇”，平和之中能看出命题者探求新意的苦心．

和２００３年相比，试题的题量、题型结构、分值配置与去年一致，试卷难题的数量有一定程度的减少，试卷的难度明显要降低一个档次．大多数考生感到容易入手，有利于减缓考试的心理压力，考出自己的真实水平．随着教育改革的不断深入，以及高校扩招的形势，降低高考试卷的难度是大势所趋．今年数学试卷的命题形式，是值得肯定的．

一、试题在稳定中创新

高考数学试题一直比较注重在稳定的同时不断进行创新，每年都会出现一批让人耳目一新的题目．今年的高考数学试卷继续保持２００３年的命题风格，但在稳定中创新，出题思路灵活多变，匠心独运．

命题者利用考生熟悉的、常见的问题作背景，重新设计考查数学思想方法、数学思维品质的试题，跳出平时的模拟试卷或复习资料上的题目，给考生提供一个平等答题的机会．

例１（天津试卷）若（１－２ｘ）２００４＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ２００４ｘ２００４（ｘ∈Ｒ），则：（ａ０＋ａ１）＋（ａ０＋ａ２）＋（ａ０＋ａ３）＋…＋（ａ０＋ａ２００４）＝．（用数字作答）

评析：该题有两个新意，一是命题者将二次展开式中的系数设计成２００４，二是该题的答案也正好设计成２００４，与今年高考的年份相吻合，使考生感到有一种亲切感．

例２（浙江试卷）点Ｐ从（１，０）出发，沿单位圆ｘ２＋ｙ２＝１按逆时针方向运动弧长到达Ｑ点，则Ｑ的坐标为：

Ａ．（－，）Ｂ．（－，－）

Ｃ．（－，－）Ｄ．（－，）

评析：该题实际上是一个单位圆中的点的坐标问题，考查的是三角函数的定义．但命题者并没有以三角函数的形式命题，而是以解析几何作为题目的背景，以运动的观点重新设计试题，极富新意．答案：Ａ．

例３（浙江试卷）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿ｘ轴跳动，每次向正方向或负方向跳１个单位，经过５次跳动质点落在点（３，０）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有＿＿＿＿＿＿＿＿＿种（用数字作答）．

评析：命题者把质点跳动问题巧妙地构成一个排列、组合试题，考生看到该题既感到熟悉，有感到新颖．从题目的内容看，考生几乎都不陌生，但在这样的情景下，运用所学数学知识来解决，考生有感到新颖别致．答案：５．

例４（上海试卷）若函数ｆ（ｘ）＝ａ｜ｘ－ｂ｜＋２在煟埃＋∞）上为增函数，则实数ａ、ｂ的取值范围是．

评析：该题是一个一次函数的单调性判断问题，但命题者没有直接以一次函数的形式给出，而辅助以绝对值的形式重新设计试题，跳出平时模拟试卷或复习资料上的题目，给考生提供一个平等答题的机会．答案：ａ＞０，且ｂ≤０．

例５（重庆试卷）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的８倍，则火星的大圆周长约＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿万里．

评析：该题求球（火星）的大圆周长，但已知条件却是：“坐地日行八万里”，即地球的大圆周长约是八万里．用伟人的诗句作已知条件，有新意

例６（天津试卷）已知数列煟幔睽牐那么“对任意的ｎ∈Ｎ潱点Ｐｎ（ｎ，ａｎ）都在直线ｙ＝２ｘ＋１上”是“煟幔睽犖等差数列”的：

Ａ．必要而不充分条件Ｂ．充分而不必要条件

Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

评析：该题是一个极普通的“充要条件″判断题，但命题者将解析几何中“点线的位置关系”与“什么是等差数列”联系在一起出题，既考查了考生综合运用数学知识的能力，又极富新意．答案：（Ｂ）．

例７（上海试卷）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为ｑ的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列的“基本量”的是第＿＿＿＿＿＿＿＿组．（写出所有符合要求的组号）

①Ｓ１与Ｓ２；②ａ２与Ｓ３；③ａ１与ａｎ；④ｑ与ａｎ．

其中ｎ为大于１的整数，Ｓｎ为煟幔睽牭那埃钕畹暮停

评析：该题先给出一个“基本量”的新的概念，然而考查考生寻找符合该″基本量”的所有可能的结果．这是近年来较多出现的一类试题．答案：①、④．

例８（广东试卷）由图（１）有面积关系：＝，则由（２）有体积关系：＝．

评析：该题要求利用平面几何中面积关系，用类比的方法得出两个三棱锥的体积关系．该题的解法不能直接从以前所学的数学知识中找出答案，也没有现成的解题模式可供借鉴．这种题型有较大的自由度和思维空间，体现自主学习和主动探究精神，体现了研究性学习的特点，对培养学生的创新精神和实践能力有重要的意义．

二、试题于平实中见奇

优秀的数学试题不仅具有良好的测试功能，而且其解法灵活多样、富有启发性．命题者不会仅仅满足于使用常规的途径解题，还会不断尝试新的途径．今年的高考数学看似平常，但平常中并不“平常”，试题于平实中见奇．

例９（重庆试卷）如图，棱长为５的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为１的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是：（）．

评析：求多面体（当然包括正方体）的表面积，这是一类十分常见的题型．但该题别出心裁，在正方体的表面均挖有两个直通的边长为１的小正方形孔，足见命题者的探求新意的苦心．

例１０（浙江试卷）若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都是定义在实数集Ｒ上的函数，且方程ｘ（ｆ煟纾ǎ）牐剑坝惺凳解，则ｇ煟妫ǎ）牪豢赡苁牵

Ａ．ｘ２＋ｘ－Ｂ．ｘ２＋ｘ＋Ｃ．ｘ２－Ｄ．ｘ２＋．

评析：解答该题的关键是搞清复合函数ｆ煟纾ǎ）牶停绀煟妫ǎ）牭囊焱点，这两个函数既有联系，又有区别，当然更不能看成是同一个函数，但在本题题设条件“方程ｘ（ｆ煟纾ǎ）牐剑坝惺凳解”下，可以运用“ｇ煟妫ǎ）牐ｘ＝０”来判断函数ｇ煟妫ǎ）犑欠窨赡苁撬母鲅≡裰е械囊恢В答案：（Ｂ）．

例１１（浙江试卷）已知ｆ（ｘ）＝，则不等式ｘ＋（ｘ＋２）·ｆ（ｘ＋２）≤５的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

评析：该题以分段函数为已知条件，求不等式的解．将不等式与分段函数联系在一起，解题时利用分段函数将不等式ｘ＋（ｘ＋２）·ｆ（ｘ＋２）≤５等价转化为两个不等式组．答案：．

例１２（上海试卷）某地２００４年第一季度应聘和招聘人数排行榜前５个行业的情况列表如下：

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）。

Ａ．计算机行业好于化工行业Ｂ．建筑行业好于物流行业Ｃ．机械行业最紧张Ｄ．营销行业比贸易行业紧张．

评析：数学试题的命题重点是考查学生运用知识分析问题的方法和解决问题的能力，它包括运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识．今年试题在考查考生应用意识、实践能力的层面上设计了许多试题，本题便是其中一例．这就传递了一种信息：要求考生关注社会、关注生活．

今年的高考数学试卷，许多省市首次在课程改革的新要求下实行自主命题，不放松对新增数学内容的考查．例如，浙江试卷在理科试卷中对新增内容共考查了４３分，约占试卷分值的３０％，基本符合新增内容的课时数所占比例．

例１３（四川试卷）已知平面上直线Ｌ的方向向量＝（－，），点Ｏ（０，０）和Ａ（１，－２）在Ｌ上的射影分别是Ｏ１和Ａ１，则＝λ ，其中λ＝．

Ａ．　Ｂ．－　　Ｃ．２　　　　Ｄ．－２

例１４（天津试卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－３ｘ在ｘ＝±１处取得极值．

①讨论ｆ（１）和ｆ（－１）是函数ｆ（ｘ）的极大值还是极小值；

②过点Ａ（０，１６）作曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的切线，求此切线方程．

评析：高考数学试题对新教材新增加的向量、线性规划、概率统计、导数等内容都作了考查，而且难度适中，有利于促进高中数学课程改革的实施．

例１５（上海试卷）如图，Ｐ－ＡＢＣ是底面边长为１的正三棱锥，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为棱长ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ上的点截面ＤＥＦ∥底面ＡＢＣ，且棱台ＤＥＦ－ＡＢＣ与棱锥Ｐ－ＡＢＣ的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

①证明：Ｐ－ＡＢＣ为正四面体；

②若ＰＤ＝ＰＡ，求二面角Ｄ－ＢＣ－Ａ的大小；（结果用反三角函数值表示）

③设棱台ＤＥＦ－ＡＢＣ的体积为Ｖ，是否存在体积为Ｖ且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台ＤＥＦ－ＡＢＣ有相同的棱长和？若存在熐刖咛骞乖斐稣庋的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在熐胨得骼碛桑

评析：①由已知：棱台ＤＥＦ－ＡＢＣ与棱锥Ｐ－ＡＢＣ的棱长和相等，荩模牛ＥＦ＋ＦＤ＝ＰＤ＋ＯＥ＋ＰＦ．又已知：截面ＤＥＦ∥底面ＡＢＣ，荩模牛剑牛疲剑疲模剑校模剑希牛剑校疲∠ＤＰＥ＝∠ＥＰＦ＝∠ＦＰＤ＝６０°，荩校ＡＢＣ是正四面体．

②取ＢＣ的中点Ｍ，连拉ＰＭ，ＤＭ，ＡＭ．已知ＢＣ⊥ＰＭ，ＢＣ⊥ＡＭ，ＢＣ⊥平面ＰＡＭ，ＢＣ⊥ＤＭ，则∠ＤＭＡ为二面角Ｄ－ＢＣ－Ａ的平面角．

由①知，Ｐ－ＡＢＣ的各棱长均为１，荩校停剑粒停剑由Ｄ是ＰＡ的中点，荩螅椋睢希模停粒剑剑荨希模停粒剑幔颍悖螅椋睿

③存在满足条件的直平行六面体．

棱台ＤＥＦ－ＡＢＣ的棱长和为定值６，体积为Ｖ．

设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为６，体积为ｓｉｎα＝Ｖ．

由正四面体Ｐ－ＡＢＣ的体积是，荩埃迹郑迹０＜８Ｖ＜１，即α＝ａｒｃｓｉｎ（８Ｖ）．

故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为ａｒｃｓｉｍ（８Ｖ）的直平行六面体即满足要求．

看似平常的考题设计，不仅能够考查学生数学知识的积累是否达到进入高校学习的基础水平，而且能够以数学最基本问题为载体，测量出考生将知识迁移到不同情景的能力，从而检测考生潜在的学习能力．

总之，２００４年的高考数学试卷，充分注意到试题的多样性，在选择题、填空题、解答题中设计了许多考查数学主体内容，体现数学素质的题目．稳中创新，平中见奇，思路宽广，灵活多样，让考生自主探究，发挥其主观能动性，研究问题的本质，寻找合适的解题方法，梳理解题程序，为考生展示其创新意识、发挥创造能力创设了广阔的空间．

２００４年的高考数学试卷，再次向中学教育界传递了以下信息：减少重复训练，跳出题海教学，理解数学本质，培养学习兴趣，提高基本能力与素养．

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