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名师荐题：推荐一道研究性高考数学试题

2010-11-05

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荐题老师：林光，烟台一中高三数学备课组组长，高三理科重点班班主任，已有15年丰富教学经验，多年担任班主任并送毕业班。烟台市高中教学先进个人。

林老师认为，今年新课改后的考题难度不会超过2005年、2006年，深度也不大。其中函数、数列、三角、立体几何、解析几何这五部分解答题、应用题都会考，共占74分。新课改后要求提高运用能力，应用题方面省内已连续5年都考查“概率”知识，因此请同学们不要把精力都放在这上面，要注意其他方面。

推荐题目：求出一个数学问题正确结论后，将其作为条件，提出与原来有关的新问题。我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题。

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积。”求出体积16/3后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16/3，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为16/3，求所有侧面面积之和的最小值。”

试给出问题“在平面直角坐标系x0y中，求点P(2，1)到直线3x+4y=0的距离”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

推荐理由：上述题目即为研究性试题。山东省高考说明要求数学试卷要较好地体现对中学素质教育的导向作用。以能力立意，考查学生研究性学习的能力，引导丰富学生的学习方式。题目很好地体现了这一特点，而且，题目考查学生能力的角度宽、涉及面广，使用的知识不难、方法不怪，不仅考查学生的一般能力，同时也对学生的学习能力有一定要求。

解题思路：整个题目是要将结论作为条件之一，与原问题有关，并且要是新问题。而本题的条件是①点P(2，1)，②直线3x+4y=0。结论是点到直线间距离是2。将②①分别与结论组成条件，就不难提出有意义的“逆向”问题。例如：

(1)求到直线3x+4y=0的距离2等于的直线方程。

解得：3x+4y+10=0或3x+4y-10=0

(2)若点P(2，1)到过原点的直线的距离为2，求直线L的方程。

解得：3x+4y=0

(3)若点P(2，1)到直线ax+by=0的距离为2，求a、b之间的关系。

解得：4a=3b

(4)求与直线3x+4y=0平行且距离为2的直线方程。

解得：3x+4y+10=0或3x+4y-10=0

而“意义不大”的问题比如：

(1)求点P(2，1)关于直线3x+4y=0的对称点。

(2)到直线3x+4y=0的距离为2的总集，是否包含点P(2，1)？

(3)点Q(1，1)是不是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点？

(4)点P(2，1)是不是到直线3x+4y+2=0的距离为2的一个点？

复习建议：对于目前复习，林老师建议同学们要抓运算、抓答题规范、重视新增知识。

“运算能力”是山东省考题的特点，几年来运算量比较大，估计今年的运算量不会超过去年、前年。根据以往经验，运算是分步骤的，包括算数、方程等，不只是一个简单的运算。一定要重视，一个数算错，整个题就都没有分了。

重视新增知识：三视图、积分、统计、幂函数、二分法、算法、零点等知识是新课改后新增的，高考一定会有体现。开放性、研究性试题虽然平时同学们训练得不多，估计高考也会有体现，因此建议同学们有意识加强这方面训练，防止看到题目无从下手。

现在特别要强调的是“抓规范”。二轮复习后同学们能力已上来了，做题一定要强调规范。不少同学只重视答案，以为结果出来就行了，实际上批卷时是按步骤给分的，不规范就要被扣分。

(记者：栾静实习生：陈智)

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